Reisensburg 1997: Abstract Edlich-Tutz
Statistical Computing '97 - Schloß Reisensburg

Parameterschätzung in Modellen mit variierenden Koeffizienten

Silke Edlich , Gerhard Tutz

Institut für Quantitative Methoden
TU Berlin

Da sich viele statistische Modellansätze als verallgemeinerte lineare Modelle (McCullagh & Nelder, 1989) darstellen lassen, haben diese in den letzten Jahren wachsende Bedeutung in Theorie und Anwendung erlangt. Dieses zeigt sich auch in ihrer Einbindung in viele gängige Programmpakete wie GLIM, SAS, SPLUS, usw. Bei realen Datenanwendungen stellt man jedoch häufig fest, daß die Modellannahmen zu restriktiv sind. Oft ist eine flexiblere Modellierung wünschenswert.
Variierende Koeffizienten Modelle (Hastie & Tibshirani, 1993) stellen in dieser Hinsicht eine Erweiterung von verallgemeinerten linearen Modellen dar. Die Regressionsparameter werden nicht konstant, sondern als glatte Funktionen über sogenannte effektmodifizierende Kovariable modelliert. Dabei wird von zwei unterschiedlichen Typen von Regressoren ausgegangen, den gewöhnlichen Kovariablen x und den effektmodifizierenden Variablen u.
Die Prediktorfunktion, in der der Zusammenhang zwischen Parametern und Kovariablen modelliert wird, kann selbst eine additive Struktur aufweisen, d.h. sie setzt sich dann als Summe von glatten Funktionen über je eine der effektmodifizierenden Kovariablen zusammen. In diesem Fall erhält man ein verallgemeinertes additives Modell. Ein weiterer Spezialfall sind semiparametrische Modelle, in denen eine Parameterkomponente als konstant und die andere als glatte Funktion verwendet wird. Eine sinnvolle Anwendung ergibt sich auch bei Longitudinaldaten, in denen die Parameterkomponenten oftmals über die Zeit variieren, die hier die effektmodifizierende Variable ist. Im Gegensatz zu parametrischen Ansätzen erhält man eine flexiblere Methode zur Exploration und Schätzung der Kovariableneffekte.
Zur Parameterschätzung stellen wir einen "Local polynomial Fisher Scoring"-Algorithmus vor. Jede einzelne Komponente wird dabei iterativ mit einem (gewichteten) lokalen Likelihood Ansatz ermittelt. Dieses Verfahren wurde in C++ implementiert und steht auch als S-Plus-Funktion zur Verfügung. Im Vortrag soll die Schätzmethode und die S-Plus-Funktion anhand von Beispielen vorgestellt werden.

Literatur:

  1. Hastie, T. & Tibshirani, R.J. (1990). Generalized Additive Models.
    London: Chapman and Hall.
  2. Hastie, T. & Tibshirani, R.J. (1993). Varying-coefficient Models.
    J. R. Stat. Soc. B 55, 757-796.
  3. Hunsberger, S. (1994). Semiparametric Regression in Likelihood-Based Models.
    J. Amer. Statist. Assoc. 89, 1354-1365.
  4. McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized linear models.
    London: Chapman and Hall, 2nd edition.
  5. Tibshirani, R.J. & Hastie, T. (1987). Local Likelihood Estimation.
    J. Amer. Statist. Assoc. 82, 559-567.


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